Un portafolio constituido por:
La asignación de riesgo de la combinación 60/40 se encuentra poco balanceada.
La construcción de portafolios con paridad ingenua de riesgo consiste en asignar a cada activo \(i\) un peso dado por
\[ h_i =\frac{1/\hat\sigma_i}{\sum_{i = 1}^n 1/\hat\sigma_i} \;. \]
Con los pesos de paridad ingenua, se cumple que
\[\hat\sigma_1 h_1 = \hat\sigma_2 h_2 = \ldots = \hat\sigma_n h_n\]
Si el riesgo de un portafolio fuera la suma ponderada de los riesgos de sus componentes entonces, usando los pesos de paridad ingenua de riesgo, cada componente aportaría la misma cantidad de riesgo.
sdRet * naiveParity_weights## ACWI.Adjusted EEM.Adjusted USO.Adjusted TLT.Adjusted IEF.Adjusted
## 0.000830378 0.000830378 0.000830378 0.000830378 0.000830378
## GLD.Adjusted UUP.Adjusted
## 0.000830378 0.000830378**El inconveniente de los pesos de paridad de riesgo es que ignoran las correlaciones que existen entre los activos*
contribución marginal al riesgo
A \(\frac{\partial\hat\sigma_\text{p}}{\partial h_i}\) lo llamaremos la contribución marginal al riesgo del componente \(i\) del portafolio. El vector de contribuciones marginales al riesgo está dado por \(\frac{\hat\Sigma h}{\sqrt{h^T \hat\Sigma h}}\).
\[ \frac{\partial\widehat\sigma_\text{p}}{\partial h_i} = \frac{\sum_j \widehat\sigma_{ij} h^j}{\sqrt{h^T \hat\Sigma h}} = \frac{(\Sigma h)_i}{\sqrt{h^T \hat\Sigma h}} \;. \]
contribución total al riesgo del componente \(i\) del portafolio
A \(h_i\frac{\partial\hat\sigma_\text{p}}{\partial h_i}\) lo llamaremos la contribución total al riesgo del componente \(i\) del portafolio.
\[ \sum_i h_i\frac{(\hat\Sigma h)_i}{\sqrt{h^T \hat\Sigma h}}=\frac{h^T \hat\Sigma h}{\sqrt{h^T \hat\Sigma h}} = \sqrt{h^T \hat\Sigma h} \;. \]
Se cumple que el riesgo total del portafolio es la suma de las contribuciones totales al riesgo pues
formulación del problema de paridad de contribución al riesgo
Encontrar un portafolio tal que las contribuciones totales al riesgo sean igual para todas las componentes del portafolio
\[ \begin{aligned} \min_{h} & & \sum_i\sum_j\left(h_i(\Sigma h)_i - h_j(\Sigma h)_j\right)^2 \\ \text{sujeto a} & & h^T \mathbf{1} = 1\\ & &h \geq 0 \end{aligned} \]
Con los pesos de paridad de contribución al riesgo, se cumple que
\[h_1(\hat\Sigma h)_1 = h_2(\hat\Sigma h)_2 = \ldots = h_n(\hat\Sigma h)_n\]
contribParity_weights * covRet %*% contribParity_weights## [,1]
## ACWI.Adjusted 5.574643e-07
## EEM.Adjusted 5.574644e-07
## USO.Adjusted 5.574643e-07
## TLT.Adjusted 5.574642e-07
## IEF.Adjusted 5.574643e-07
## GLD.Adjusted 5.574642e-07
## UUP.Adjusted 5.574643e-07Si invertimos \(h\) en un portafolio, entonces invertimos \(\mathbf{p}_i^\top h\) en el \(i\)-ésimo portafolio principal
\[ \lambda_i (\mathbf{p}_i^\top h)^2 = \lambda_j (\mathbf{p}_j^\top h)^2 \quad \text{ para toda } \quad i,j = 1,...,K. \]
formulación del problema de paridad de fuentes de riesgo
\[ \begin{aligned} \min_{h} & & \sum_i\sum_j \left( \lambda_i (\mathbf{p}_i^\top h)^2 - \lambda_j (\mathbf{p}_j^\top h)^2 \right)^2\\ \text{sujeto a} & & h^T \mathbf{1} = 1 \\ & & h \geq 0 \end{aligned} \]
Con los pesos de paridad de fuentes de riesgo se cumple, eligiendo tres fuentes de riesgo, que
\(\lambda_1 (p_1^\top h)^2 = \lambda_j (p_2^\top h)^2= \lambda_i (p_3^\top h)^2\)
eval * (principal_parity_weights %*% evec)^2## [,1] [,2] [,3] [,4] [,5]
## [1,] 2.9523e-06 2.9523e-06 2.9523e-06 7.077605e-07 1.247495e-09
## [,6] [,7]
## [1,] 4.651713e-07 8.308623e-09